Фамилия Эйтенейер — редкий пример фамилии, которую можно уверенно разобрать по составу только зная немецкие диалекты. В отличие от большинства русских фамилий, она не крестьянская и не духовная, а городская, немецкая, и попала в Россию с переселенцами или специалистами.

Разложим её на части. Основа «Эйтен» — это вариант немецкого «Euten» или диалектного «Eiten». Скорее всего, это топонимическая часть: в Германии есть несколько мест с названием Euten (например, в Нижней Саксонии) или же это форма от имени собственного Eite (сокращение от Айте, Адольф). Вторая часть, «-ейер», — это не суффикс, а искажённое «-er». В немецких фамилиях суффикс -er указывает на профессию или жителя местности: «тот, кто из». То есть Эйтенейер — это «житель из Эйтена» или «выходец из местности Эйтен».

Есть и другая версия, менее вероятная, но допустимая: «Eiten» может восходить к средневерхненемецкому «eit» — «огонь», «костёр». Тогда «Eitener» — это «тот, кто работает с огнём»: кузнец, плавильщик или даже пожарный. Но для фамилии с таким окончанием топонимическое происхождение типичнее.

В России фамилия Эйтенейер встречается единично. По данным переписей и телефонных справочников, основные носители сосредоточены в крупных городах — Москве, Санкт-Петербурге, а также в Саратовской области, куда в XVIII–XIX веках активно приглашали немецких колонистов. Если предки были из тех мест, фамилия могла писаться как Эйтенейер, Эйтенайер или даже Эйтенер — в документах немецкие фамилии часто искажали.

Словообразовательная модель проста: корень + суффикс принадлежности. Никаких славянских суффиксов -ов или -ин здесь нет, поэтому фамилия не склоняется по падежам в русском языке (кроме случаев, когда её русифицировали). Это типично для поздних немецких переселенческих фамилий, которые сохранили исходную форму.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были городскими ремесленниками или мелкими чиновниками из немецких земель, которые переехали в Российскую империю по приглашению Екатерины II или позже, в XIX веке. Точного значения «огонь» в фамилии нет — это скорее «человек из Эйтена».