Фамилия Езюкинский — одна из тех, что сразу выдают географическое происхождение. Суффикс -ский в русских фамилиях указывает на территориальную привязку: такую форму обычно получали выходцы из определённого села, города или имения. В отличие от патронимических фамилий на -ов и -ин, которые образовывались от имени отца, фамилии на -ский часто носили дворяне, духовенство или переселенцы, бравшие фамилию по названию родного места.

Основа «Езюкин-» почти наверняка восходит к топониму. В русской ономастике есть несколько населённых пунктов с похожими названиями — например, село Езюкино или урочище Езюки. Такие названия обычно происходят от прозвища или неканонического имени Езюка. Что оно могло означать? Скорее всего, это производное от глагола «ездить»: Езюка — человек, который много ездит, разъезжает, возможно, ямщик, гонец или торговец. В старину прозвища, данные по роду занятий, легко превращались в фамилии и названия деревень. Менее вероятна, но возможна связь с личным именем на -юка (как Васюка от Василий), но в таком случае фамилия звучала бы как Езюкин, а не Езюкинский.

Спорный момент — вторая «з» в корне. Встречается написание через одну «з» (Еюкинский), что может указывать на диалектное произношение или ошибку писаря. Но вариант с «з» — основной и более устойчивый. Поскольку фамилия редкая и не попала в массовые списки крестьянских или мещанских родов, её носители, скорее всего, происходят из небольшой локальной группы — из одного села или уезда. Сословно это могли быть как однодворцы (государственные крестьяне, владевшие землёй), так и мелкопоместные дворяне, получившие фамилию по своему поместью Езюки. Точных данных о географии фамилии в открытых источниках мало, но по косвенным признакам (суффикс -ский и редкость) логично искать корни в центральных или южнорусских губерниях, где топонимы на -юка встречаются чаще.

Итог прост: Езюкинский — это «человек из Езюков», а его предок, скорее всего, был либо тем самым Езюкой-ездоком, либо первым владельцем или основателем села с таким названием.