Фамилия Фаинштейн — типичный пример ашкеназской фамилии, образованной по немецкой модели. Она состоит из двух частей: основы «Фаин-» и окончания «-штейн», которое в переводе с немецкого (Stein) означает «камень». Такие составные фамилии на -штейн, -берг (гора), -таль (долина) были очень популярны среди еврейского населения Восточной Европы в конце XVIII — начале XIX века, когда власти Австрийской и Российской империй обязали евреев получить постоянные фамилии.

Первая часть, «Фаин», восходит к немецкому прилагательному fein, что значит «тонкий, изящный, красивый, благородный». Вероятнее всего, фамилия была присвоена как «украшающая» — то есть давалась не по профессии или месту жительства, а как пожелание или характеристика. В ономастике такие фамилии называют «идеационными» или «искусственными»: они должны были звучать благозвучно и вызывать приятные ассоциации. Однако не исключено, что в основе могло лежать прозвище предка — «Файн» (человек утонченный, аккуратный или, наоборот, щеголь).

С точки зрения словообразования, фамилия Фаинштейн — чистая композита (сложение двух корней), без типичных для славянских фамилий суффиксов -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на её немецкоязычное происхождение, хотя носители фамилии исторически говорили на идише. В написании возможны варианты: Файнштейн, Фейнштейн (через «ей»), что связано с разной передачей дифтонга ei на русский язык. В дореволюционных документах встречается и написание «Фаинштейнъ».

Географически фамилия была распространена на территории современной Украины, Беларуси, Молдовы и Польши — в черте оседлости Российской империи. Многие носители фамилии в XIX веке были мещанами или купцами, реже — раввинами и учителями. В отличие от многих русских фамилий, Фаинштейн не указывает на род занятий предка, а скорее отражает моду и административные практики того времени, когда фамилии нередко придумывались чиновниками или выбирались самими семьями как «красивые».