Фамилия Фаиьянов — редкий случай, когда написание прямо указывает на иноязычное происхождение. Сочетание «иья» в корне нетипично для исконно русских слов, и это сразу подсказывает, что перед нами не славянская основа, а заимствованное имя или прозвище, обрусевшее через суффикс -ов.

Скорее всего, в основе лежит личное имя Фаи (или Фая), которое могло прийти в русскую среду из греческого или древнееврейского через церковные святцы. В греческом имя Фаи (Φάη) иногда связывают со значением «свет» или «сияние», хотя это не бесспорно. В русских говорах имя Фая могло быть уменьшительной формой от канонических Фаина или Феофан, причем в последнем случае через народное переосмысление. Фамилия образовалась по стандартной модели: к основе Фаи- добавили суффикс -ьян (вариант -ян, характерный для южнорусских и украинских земель), а затем — патронимический -ов. Таким образом, Фаиьянов буквально означает «потомок Фаи» или «сын человека по имени Фая».

Суффикс -ьян реже встречается в русских фамилиях, чем -ин или -ов, и чаще указывает на южное или западнорусское происхождение — территории, где были сильны украинские и белорусские диалектные влияния. Встречаются и однокоренные варианты: Фаинов (без «ья»), Фаянов, а также Фаиев. Если ваш предок носил фамилию Фаиьянов, он мог происходить из крестьянской или мещанской среды Черноземья, Кубани или Ставрополья, где такие формы были распространены.

Точных сведений о сословной принадлежности носителей фамилии в открытых источниках нет, но по модели образования она типична для непривилегированных слоев — духовенство и дворянство чаще оформляли фамилии через -ский. Споров вокруг корня почти не возникает: версия с личным именем Фаи (или Фая) наиболее прямая и правдоподобная.