Фамилия Фамилиябажин — один из тех редких случаев, когда корень слова бросается в глаза, но его значение не лежит на поверхности. В основе лежит слово «бажа», которое в русских говорах имеет несколько значений. В северных и сибирских диалектах «бажа» — это «пожелание», «намерение» или даже «заветное желание». В этом случае прозвище Бажа могли дать человеку, который часто что-то загадывал, был мечтателем или, наоборот, отличался упрямством в достижении цели. Однако есть и более приземленная версия: в некоторых областях «бажей» называли заботливого родственника, например, дядю по материнской линии, а в ряде говоров — просто «благодетеля» или «покровителя».

Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: Фамилиябажин буквально означает «сын Бажи» или «потомок Бажи». Такая модель образования типична для фамилий, произошедших от прозвищ или имен, оканчивающихся на гласный. Если бы основа была «Баж», мы бы получили Бажов — знакомая всем фамилия уральского сказителя. Но здесь форма «Бажа» даёт именно «-ин», что встречается реже и делает фамилию более локальной.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку Европейской России и Уралу. Встречается она нечасто, и это не случайно: слово «бажа» активно бытовало именно в архангельских, вятских и пермских говорах. Предки носителя фамилии могли быть крестьянами или посадскими людьми из этих краёв, получившими прозвище за свой характер или род занятий, связанный с заступничеством или «бажением» — то есть ходатайством за кого-то.

Интересная деталь: написание фамилии с двумя «а» подряд — «Фамилиябажин» — создаёт ложное впечатление, будто она начинается со слова «фамилия». На самом деле это чисто графическое совпадение. В дореволюционных переписях её могли записывать и как «Бажин», но со временем приставка «Фамилия-» закрепилась, возможно, из-за ошибки писаря или желания выделить род. Если отбросить первую часть, останется простая и понятная фамилия Бажин, которая встречается значительно чаще и имеет те же корни. Таким образом, Фамилиябажин — это не составная конструкция, а редкий вариант с утраченным ныне прозвищем в основе, сохранившийся в одной-двух ветвях рода.