Фамилия Фамили — редкий случай, когда русское по форме слово вызывает вопросы уже при первом взгляде. В ней нет типичных для русских фамилий суффиксов -ов, -ев, -ин, -ский. Окончание -и наводит на мысль о фамилиях украинского или польского происхождения (типа Грушевский, Толстых), но в чистом виде «Фамили» — это скорее всего искусственное или канцелярское образование.

Самая вероятная версия: фамилия произошла от латинского слова «familia» (семья, род, домочадцы) через посредство русского «фамилия». В XVIII–XIX веках это слово активно использовалось в официальных бумагах: «прописать фамилию», «означить фамилию». Фамили — это прозвище, которое могли дать писарю, канцеляристу, чиновнику, который постоянно имел дело с этим термином. Либо так в шутку называли человека, который слишком гордился своей родословной или, наоборот, не имел никакой.

Вторая, менее правдоподобная гипотеза — связь с диалектным глаголом «фамильничать» (вести себя важно, чваниться). Но этот глагол сам образован от того же «фамилия», так что корень один.

Интересно, что фамилия Фамили могла возникнуть и как «переделка» иностранной фамилии на русский лад. Например, итальянская Famigli или французская Famille при переселении в Россию могла быть записана на слух как Фамили. Но в таком случае носители обычно сохраняли исходное ударение и написание, а здесь мы видим русификацию.

Географически фамилия встречается единично, в основном в центральной части России и на юге. Никакого массового распространения у неё нет. Это именно та фамилия, которую человек мог получить при «приписке» к сословию в XIX веке, когда крестьянам или мещанам давали фамилии по случайному признаку — по слову, которое первым пришло в голову чиновнику.

С точки зрения словообразования, Фамили — это субстантивированное существительное в форме множественного числа родительного падежа (кого? чего? — фамилий). Но в бытовом употреблении оно закрепилось как неизменяемая основа. Других однокоренных фамилий, кроме Фамильского или Фамильцева, практически нет, что подтверждает её искусственное происхождение.

Таким образом, предки современного носителя фамилии Фамили с высокой долей вероятности были людьми, так или иначе связанными с письменностью или бюрократией, либо получили фамилию по случайности при оформлении документов.