Фамилия Федощева — женская форма фамилии Федощев, и её происхождение стоит разбирать через мужской вариант. Федощев — фамилия с довольно редкой словообразовательной моделью. В её основе лежит производная форма канонического имени Феодор (в русском обиходе — Фёдор). Имя это, пришедшее из греческого (Theodoros — «дар Божий»), дало огромное количество уменьшительных и просторечных вариантов: Федя, Федька, Федул, Федос, Федот, Федоска. Фамилия Федощев образована от формы Федоща — это нестандартный вариант с суффиксом -ощ-, который встречается гораздо реже, чем, скажем, -ош- (Федос, Федот) или -к- (Федька, Федоска). Суффикс -ощ- в русских личных именах и прозвищах нехарактерен для центральных говоров, но мог возникнуть в северных или северо-западных диалектах под влиянием местных произносительных норм. Соответственно, Федощей в XV–XVII веках могли называть человека, носившего имя Фёдор, но в той местности, где имя склоняли на свой лад.

Фамилия Федощев по суффиксу -ев относится к «патронимическим» — то есть указывающим на отца: сын Федощи. Обычно такие фамилии закреплялись за крестьянами и посадскими людьми, реже — за служилыми. Поскольку форма Федоща — просторечная и даже диалектная, можно с высокой вероятностью предположить, что первые носители фамилии были из непривилегированных сословий, из крестьянской или ремесленной среды. В дворянских родословных книгах эта фамилия не встречается.

География фамилии Федощев (и Федощева) довольно узкая. Основные очаги — Вологодская, Архангельская, Кировская области, а также Пермский край. Это подтверждает предположение о северном происхождении суффикса -ощ-. Встречается фамилия и в центральных регионах, но там она, скорее всего, результат миграций XX века. Важно не путать её с фамилией Федосеев (от Федосей) или Федотьев (от Федот) — это разные корни, хотя и от того же имени.

Таким образом, фамилия Федощева означает «принадлежащая потомку Федощи». Предок носительницы этой фамилии, скорее всего, был крестьянином или мастеровым человеком из северных русских земель, которого в обиходе звали нестандартной, но запоминающейся формой имени Фёдор.