Фамилия Федроашкина — редкая и сложная по составу. В ней отчётливо выделяется суффикс -шкин, характерный для прозвищ и неканонических имён. Обычно такие фамилии образовывались от уменьшительно-ласкательных форм личных имён или прозвищ, оканчивающихся на -шка: Федька → Федюшка, и далее — «чей?» — Федюшкин. В вашем случае основа «Федроаш-» нестандартна.

Скорее всего, в основе лежит имя Фёдор. В народной речи оно давало множество вариантов: Федя, Федюня, Федро. Форма Федро (или Федра) встречается в диалектах, особенно в южнорусских и украинских говорах, где звук «р» мог вставляться для благозвучия. Далее от «Федро» образовали ласкательное «Федрошка» (по аналогии с Федюшка, Федотка), а суффикс -ашк- мог появиться под влиянием других имён (например, Ивашка, Прошка). Таким образом, Федроашкин — это «сын Федрошки», то есть потомок человека, которого в быту звали ласково-пренебрежительно Федрошка.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным словом «федра» — так в некоторых регионах называли неряшливую, неопрятную женщину или же, наоборот, бойкую, «федюкающую». Однако фамилия Федроашкина (женская форма) указывает на то, что основа мужская: носителем прозвища был мужчина, а женщина — его дочь или жена. Поэтому версия с именем Фёдор — основная.

Обратите внимание на написание: буква «а» после «о» — Федроашкина — необычна. В классических фамилиях на -шкин после корня обычно стоит «ю» или «и» (Федюшкин, Федишкин). Возможно, это результат поздней орфографической ошибки при переписи населения или диалектного произношения, где звук «а» заменил редуцированный гласный. Такая деталь делает фамилию уникальной даже среди однокоренных.

Географически фамилия могла закрепиться в районах, где было распространено имя Федро — например, в Курской, Воронежской областях или на Кубани, куда переселялись крестьяне с юга России. Сословно предки, скорее всего, были крестьянами или мещанами: фамилии на -шкин редко встречались у дворян, так как образовывались от просторечных форм.

Если вам встретился вариант Федрошкина (без буквы «а»), то это более стандартная форма. Но именно написание «Федроашкина» — редкая и ценная деталь, которая может указать на конкретную ветвь рода или на особенность местного говора.