Фамилия Финагига — редкий случай в русской ономастике, и её происхождение неочевидно с первого взгляда. Скорее всего, перед нами не исходная форма, а результат искажения при переписи или в бытовой речи. Наиболее вероятная версия: Финагига — это вариант фамилии Финагин, которая, в свою очередь, образована от крестильного имени Афиноген (в просторечии Финоген, Финя). Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Финяги. Окончание -а могло появиться при адаптации фамилии в южнорусских или украинских говорах, где фамилии на -а встречаются чаще, либо при записи фамилии в женском роде (вдова Финагига).

Менее правдоподобная, но возможная версия — связь с диалектным словом «финага» (или «финюга») — так в некоторых областях называли хитроватого, прижимистого человека или просто незнакомца с необычным говором. Тогда прозвище Финага закрепилось за родоначальником, а его потомки стали Финагигами. В этом случае фамилия относится к числу прозвищных, образованных без патронимического суффикса, что для русских фамилий нетипично, но встречается в западных регионах.

География фамилии крайне узкая. Финагиги встречаются в основном в Курской и Белгородской областях, а также на востоке Украины — в Сумской и Харьковской областях. Это указывает на локальное бытование, возможно, в одном или нескольких селах. Если ваши предки оттуда, стоит поискать записи под формами Финагин, Финогин или Финогонов — в ревизских сказках XIX века фамилию могли записать по-разному, и нынешнее написание — результат ошибки писаря или позднейшего упрощения.

Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или однодворцами (потомками служилых людей, охранявших южные рубежи). Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Фамилия не имеет отношения к финансам или «фигам» — это чисто фонетическое совпадение.