Фамилия Флянова — женская форма от Флянов, и её разумнее начинать с мужского варианта. Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Флян. Слово «флян» в русских говорах имело два основных значения: либо «фляга», «плоский сосуд для воды», либо, в диалектах юго-запада, «лодырь» или «ротозей». Какая версия правдоподобнее?

Скорее всего, перед нами прозвище по ремеслу или предмету. Флягой на Руси называли и деревянный бочонок для воды, и металлическую посуду. Мастера, делавшего фляги, или торговца такой утварью могли прозвать Фляном — слово сократилось по типичной модели (ср. Ковш — Ковшов, Горшок — Горшков). Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Фляна». Значит, родоначальник Фляновых мог быть бондарем, лудильщиком или коробейником, носившим товар в флягах.

Версия с «лодырем» менее вероятна: прозвища с корнем «флян» в значении «бездельник» фиксируются в основном в украинских и белорусских говорах, а фамилия Флянов в целом — русская, с характерным суффиксом -ов, а не -енко или -ук. Хотя полностью исключать западное влияние нельзя: фамилия встречается в Тверской, Смоленской и Псковской областях, где диалекты граничат с белорусскими.

Обратите внимание на редкость фамилии. В отличие от массовых Кузнецовых или Ивановых, Фляновых мало. Это говорит о том, что прозвище было локальным, узкопрофессиональным. По переписям XIX века Фляновы чаще всего числились государственными крестьянами в центральных губерниях, никакого дворянского или купеческого следа не прослеживается.

Если ваши предки — Фляновы, ищите в метрических книгах Тверской или Смоленской губернии. А версия с сосудом — основная: предок либо делал фляги, либо торговал ими, либо получил прозвище за то, что всегда носил с собой флягу.