Фамилия Фоченко — характерный пример украинской модели фамилии на -енко. Суффикс -енко в украинской ономастике означает «сын» или «потомок» (сравните с польским -ич или русским -ов/-ев). То есть Фоченко — это буквально «сын Фочки», где Фочка — уменьшительно-обиходная форма какого-то имени или прозвища.

Корень здесь — Фоч-. Скорее всего, это фонетический вариант имени Фока (греч. Phokas — «тюлень»). В православных святцах имя Фока встречалось нередко, особенно в южнорусских и украинских землях. Уменьшительные формы в народной речи легко давали Фочка, Фоченко. Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «фочить» или диалектным словом «фока» (в некоторых говорах — «простак», «разиня»), но письменных подтверждений такой основы в исторических словарях почти нет.

Географически фамилия Фоченко тяготеет к центральной и левобережной Украине — Черкасская, Полтавская, Сумская области. В России встречается редко, в основном у потомков переселенцев с Украины. В XIX веке носители фамилии записаны в основном как казаки или крестьяне, без дворянских корней.

Интересная деталь: в некоторых документах XVII–XVIII веков встречается написание «Фоченко» через «ять» или с двойным «н» (Фоченко, Фоченков), что говорит о колебаниях при адаптации фамилии в русском делопроизводстве. Но современное написание закрепилось как Фоченко.

Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходили из украинской сельской среды, а их отдалённый родоначальник носил имя Фока или прозвище, от него образованное. Фамилия не редкая, но и не массовая — в современных базах данных насчитывается несколько сотен носителей, преимущественно в Украине.