Фамилия Фютик — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение неочевидно с первого взгляда. Скорее всего, она имеет искусственное или книжное происхождение, а не исконно крестьянское прозвище.

Самая вероятная версия — фамилия образована от украинского или польского слова «фют» (или «фють»), звукоподражания свисту или легкому ветру. В польском языке «fiuć» (произносится как «фють») означает «свистеть», а в некоторых говорах — «бездельничать», «шататься». Суффикс -ик в этом случае типичен для украинских и польских фамилий, обозначающих носителя признака (ср. Шустрик, Хитрик, Мудрик). То есть Фютик — это «тот, кто свистит» или, в переносном смысле, «легкомысленный человек», «ветреник».

Вторая версия, менее распространенная, но возможная, — фамилия могла возникнуть в среде духовенства. Семинаристы часто получали фамилии, образованные от латинских или греческих слов, переделанных на русский лад. Латинское «futurus» (будущий) могло дать форму «Футик» или «Фютик» — как намёк на «будущего» священника. Однако эта гипотеза слабая: прямое заимствование из латыни дало бы скорее «Футуров» или «Футурин».

Третья версия — фамилия могла быть записана по ошибке или как вариант немецкой фамилии Füttig (Фюттиг). В немецком языке это слово связано с «fett» (жирный) или «Futter» (корм, подкладка), но в русской среде такое прозвище прижилось бы вряд ли.

Географически фамилия Фютик встречается в основном на западе России, в Беларуси и на Украине, что подтверждает первую, «свистящую» версию. Сословно её носители, скорее всего, относились к мещанам или казакам, но не к крестьянам — прозвище звучит как городское или шляхетское.

В любом случае, фамилия Фютик — это не про профессию или отчество, а про характер или внешнюю особенность. Предок мог быть свистуном, балагуром или же просто человеком, который любил насвистывать мелодии.