Фамилию Гаджикаибова стоит разбирать с конца — суффикс -ова указывает на женскую форму от мужской фамилии Гаджикаибов. В русской традиции такие фамилии образовывались от отчества или прозвища отца, так что прямой предок носительницы фамилии звался Гаджикаиб.

Основа фамилии — составное арабское имя Гаджикаиб, распространённое у народов Кавказа (особенно у дагестанцев — аварцев, даргинцев, кумыков) и в тюркоязычной среде. Первая часть, Гаджи (или Хаджи) — почётный титул мусульманина, совершившего паломничество в Мекку. Вторая часть, Каиб — арабское имя, означающее «скрытый», «сокрытый» (один из эпитетов Аллаха в исламе, а также имя, указывающее на сокрытое знание). Таким образом, Гаджикаиб — это человек, который и паломник, и носит имя с религиозным смыслом, или же прозвище, данное в честь предка, совершившего хадж.

Модель образования проста: к личному имени Гаджикаиб добавили русский фамильный суффикс -ов (в женском роде -ова). Это типично для фамилий народов Северного Кавказа, которые в XIX—XX веках, при интеграции в состав Российской империи, оформили свои родовые имена по русской модели. Фамилия не старше двух-трёх веков, и её носители, скорее всего, происходят из горных аулов Дагестана или Чечни, где подобные имена были часты.

Стоит обратить внимание на написание: в русском языке фамилию закрепили через «Га», хотя в арабском и тюркском произношении чаще встречается «Ха» (Хаджикаиб). Это не ошибка, а особенность адаптации: в некоторых дагестанских языках звук «х» мог переходить в «г» при записи, или же фамилия прошла через тюркское посредничество, где «гаджи» — распространённый вариант. Встречаются и однокоренные фамилии: Гаджиев, Гаджикаибов (без -ова), Каибов — все они указывают на одно и то же корневое имя, но различаются по полноте формы.

Если коротко: предки носительницы фамилии — мусульмане с Кавказа, один из которых носил почётное имя паломника, а сама фамилия — «русская» по форме, но восточная по смыслу.