Фамилия Гаготина — редкий пример, где разбор лучше начинать не с корня, а с суффикса. Окончание -а выдает женскую форму: в русской традиции так фиксировали замужних женщин или вдов. Мужской вариант — Гаготин. Модель образования простая: основа Гагот- плюс типичный русский суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — Гаготин, то есть сын или потомок Гаготы).

Куда сложнее с основой. Слово «гагота» в современных словарях не зафиксировано, но в диалектах русского севера и Поволжья встречается глагол «гаготать» — громко, раскатисто смеяться, хохотать, иногда с оттенком нелепости или шума. Прозвище Гагота могли дать человеку веселому, любителю посмеяться, а может, и тому, кто сам вызывал смех окружающих — неловким поведением или внешностью. В ономастике такие «звукоподражательные» фамилии от глаголов речи и смеха (Хохлов, Смехов, Гоготин) встречаются, но нечасто.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским корнем «гага» (ворон, черная птица) или с названием птицы гагары. Но фонетически «Гагота» ближе к славянской звукоподражательной основе, чем к тюркским заимствованиям. К тому же в южных и центральных губерниях, где фамилия встречается чаще (по данным XIX века — Тверская, Ярославская, Костромская области), тюркское влияние было слабым.

Социально фамилия Гаготина не элитарная: ни дворянских родов, ни известных купеческих династий с такой фамилией не зафиксировано. Скорее всего, предки — крестьяне или мещане из северных или верхневолжских уездов. В метрических книгах XIX века Гаготины встречаются в основном как государственные крестьяне, реже — как мастеровые.

Интересная деталь: написание с одним «т» (Гаготин, а не Гаготтин) — норма для фамилий от прозвищ на -ота. Сравните: Хрипун — Хрипунов, Свистун — Свистунов. Но если бы основа была от «гагот» (с двойной т), она бы дала фамилию Гаготтов — что в русском языке нетипично. Так что единственное «т» в корне — дополнительный аргумент в пользу прозвищной версии от глагола «гаготать».