Фамилия Гапербаев — редкая и, скорее всего, с двойным корнем. Её основа явно не славянская, а тюркская или кавказская. Строение фамилии подсказывает, что перед нами патроним (фамилия по отцу), образованный по русской модели с суффиксом -ев. Такие фамилии массово появлялись у народов, вошедших в состав Российской империи, когда их имена и прозвища записывали на русский лад.

Разбираем слово. Первая часть — «Гапер» (или «Гапур»). Это имя или прозвище, которое может восходить к арабскому «Гафур» (Всепрощающий — один из эпитетов Аллаха). В тюркских языках (кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) звук «ф» часто заменялся на «п», поэтому «Гапур» — обычное народное имя. Вторая часть — «бай». В тюркских языках «бай» означает «господин», «богатый», «хозяин». В составе сложных имён он указывал на знатность, достаток или просто был уважительным компонентом. Таким образом, имя Гапербай (или Гапурбай) могло означать «господин Гапур» или «богатый, как Гапур».

Самый вероятный ареал фамилии — Северный Кавказ (Дагестан, Чечня, Ингушетия) или Поволжье (татары, башкиры). У кумыков и ногайцев такие двусоставные имена с «бай» были широко распространены. Фамилия Гапербаев могла появиться у предка, которого звали Гапербай, и при переписи или в документах ему или его сыну записали фамилию по отцу — Гапербаев.

Менее вероятная, но возможная версия — что «Гапер» не имя, а искажённое «гапир» (говорун, болтун) в каком-то из местных говоров. Но сцепка с «бай» делает первую версию намного убедительнее: маловероятно, что прозвище «болтун» соединили бы с титулом «господин».

Социальный контекст: если предок носил имя с компонентом «бай», он, скорее всего, не принадлежал к низшим слоям, а был зажиточным крестьянином, скотоводом или мелким землевладельцем. В советское время фамилия не изменилась, так как суффикс -ев уже делал её привычной для русского уха.

Фамилия нечастотная. В открытых базах данных она встречается единично, в основном в республиках Северного Кавказа. Это как раз тот случай, когда фамилия — почти готовый ответ на вопрос о происхождении: она прямо указывает на имя предка, его этническую среду и примерный достаток.