Фамилия Гараховский — типичный пример фамилии, образованной от географического названия с помощью суффикса -ский. Этот суффикс в русской ономастике указывал на принадлежность к местности или владению ею: так возникали фамилии дворян (по названию поместий) и духовенства (по названию церковных приходов или сёл), а позже — и крестьян, переселявшихся из одной деревни в другую.

Основа фамилии — топоним Гарахово или Гарахов. Такие названия встречаются в разных регионах восточных славян: например, деревня Гарахово есть в Смоленской области России и в Витебской области Беларуси. Корень, скорее всего, происходит от прозвища или имени Гарах. Это может быть производная форма от крестильного имени Герасим (в просторечии Гарасим, Гарах) или от имени Гавриил (в народном произношении Гаврила, Гара). В белорусском и украинском языках «гарах» могло означать «горемыка» или «бедолага», но эта версия менее вероятна для фамилии, так как суффикс -ский тяготеет к территориальной привязке.

С точки зрения социального происхождения, носители фамилии Гараховский — это, скорее всего, потомки людей, которые жили в населённом пункте Гарахово и при переезде в другое место получали прозвище по месту выхода. В XIX веке такие фамилии часто закреплялись за мещанами и крестьянами, а также за священниками, если село имело церковь. Дворянский вариант маловероятен: поместий с таким названием в родословных книгах не зафиксировано.

Интересная деталь: в некоторых документах XIX века фамилию могли записывать как Гороховский — из-за «акающего» произношения, когда безударное «о» звучит как «а». Но это разные фамилии: Гороховский связан с растением горох, а Гараховский — с топонимом. Если ваши предки из Смоленской или Витебской губернии, скорее всего, фамилия именно географическая.