Фамилия Гашицой — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Первое, что бросается в глаза, — окончание «-ой». В русской ономастике такой финал нехарактерен для исконно русских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ев, -ин или -ский. Окончание «-ой» — яркий маркер украинского или южнорусского влияния, особенно часто оно встречается на Кубани, в Запорожье и на Донбассе, где в фамилиях сохранилась старая форма притяжательных прилагательных (сравните: Шевченко — Шевченков, но в местном говоре — Шевченкой). Таким образом, Гашицой — это вариант фамилии Гашицкий или Гашица, переоформленный по южнорусской модели.

Основа фамилии — «Гашиц-» — восходит к прозвищу или топониму. Наиболее правдоподобная версия связывает её с диалектным словом «гаш» или «гаша». В южных и западных говорах русского языка, а также в украинском и белорусском, «гаша» — это жидкая каша, похлёбка, иногда — грязь, месиво. Прозвище Гашица могли дать человеку, который любил жидкую еду, либо, напротив, неряхе, который ходил в грязной одежде. Менее вероятна, но возможна связь с тюркским корнем «гаш» (бровь, край, опушка), но в этом случае фамилия скорее звучала бы как Гашев или Гашов.

Суффикс «-иц-» в основе указывает на уменьшительно-пренебрежительную форму. То есть Гашица — это не просто «тот, кто ест кашу», а «кашица, кашка». Так могли прозвать мелкого, худого или несерьёзного человека, либо ребёнка. В польской и западнорусской традиции суффикс «-ица» часто закреплялся за прозвищами, образованными от названий блюд (сравните: Кашица, Солица, Масленица).

Географически фамилия Гашицой (встречается также написание Гашицый, Гашицой) привязана к территориям бывшей Запорожской Сечи и Слобожанщины. Если ваши предки носили эту фамилию, они с большой вероятностью были выходцами из казацкой среды, где прозвища давались по бытовым чертам, без привязки к знатности. Сословно это крестьянская или казачья фамилия: в дворянских родословных книгах она не фиксируется. Сейчас фамилия крайне редка, большинство носителей живёт в Украине и на юге России.