Фамилия Гашицкая — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищное происхождение. Основа здесь — топоним, скорее всего, название населённого пункта вроде Гашицы или Гашичи. Такие названия встречаются в белорусском и украинском Полесье, а также на западе России, в Смоленской и Брянской областях. Суффикс -ицк-/-ицк- в русской ономастике типичен для фамилий, образованных от названий мест на -ицы, -ичи: вспомните Куницкий, Белицкий. Женская форма Гашицкая указывает, что носительница либо замужем за Гашицким, либо происходит из семьи Гашицких.

Само слово «гаш» в славянских говорах многозначно, но ни одно из значений не даёт однозначного прозвища. В диалектах «гаш» — это гашёная известь, реже — болото или топь, иногда — кусок льна или пеньки (от «гати»). Если корень восходит к «гасить», то прозвище Гаша мог получить человек, работавший с известью или живший у гати. Однако для фамилии на -ский топонимическая версия убедительнее: предок был помещиком или крестьянином, которого записали по названию деревни, откуда он вышел.

Написание через «а» в первом слоге — не ошибка, а норма для восточнославянской передачи. В польском варианте фамилия звучала бы как Gaszycka, с ударением на втором слоге. В русском языке ударение плавает: чаще слышится Гашúцкая, но в некоторых семьях — Гáшицкая. Это говорит о том, что фамилия бытовала в разных диалектных зонах и не успела закрепиться в едином произносительном стандарте.

Сословно Гашицкие — почти наверняка шляхта или однодворцы. Фамилии на -ский в XVI–XVIII веках активно носили дворяне Речи Посполитой, а после разделов Польши — и русские помещики западных губерний. Если же фамилия крестьянская, то она поздняя (XIX век), когда крепостным массово давали фамилии по названиям деревень. Судя по редкости, Гашицкие — компактная, локальная группа, не размножившаяся по всей стране.

Сравните с однокоренными: Гашинский, Гашев, Гашков. У них общая основа, но разные модели образования. Гашицкая стоит особняком из-за суффикса -ицк-, который в русских фамилиях встречается втрое реже, чем -овск- или -инск-. Это дополнительный аргумент в пользу польско-литовского корня фамилии.