Фамилия Гаицкая звучит необычно для русского уха, и это подсказка: скорее всего, она не исконно русская, а имеет польские или западноукраинские корни. Её основа — топоним, то есть название места. В Польше и на Западной Украине есть несколько населённых пунктов с похожими названиями: Гайце (Gajce), Гайцы или Гайчицы. Все они, в свою очередь, восходят к слову «гай» — так в южных и западных славянских говорах называют небольшую рощу, лесок. Человека, который жил в таком месте или был оттуда родом, могли прозвать «гаец» или «гаиц». От этого прозвища и пошла фамилия.

Формант «-цк-» (в женском роде «-цкая») — типичный для польской шляхты и украинской старшины. Такие фамилии образовывались по модели «название места + -ский/-цкий». В польском языке это звучало бы как Gajcka (читается «Гайцка»), а в русской передаче появилось окончание «-ая». Интересно, что ударение в фамилии стоит на втором слоге — Гаи́цкая, что тоже указывает на западнославянский источник: в польском ударение фиксированное на предпоследнем слоге.

Мужской вариант фамилии — Гаицкий. Носитель такой фамилии мог быть мелким шляхтичем из-под Львова или крестьянином из села, которое называлось Гайце. В обоих случаях географическая привязка была сильной: фамилия буквально говорила «тот, кто из Гаиц». В России эта фамилия встречается редко, в основном на юге и западе страны, куда переселялись поляки и украинцы после разделов Речи Посполитой.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Гаицкая стоит в одном ряду с Гаевским, Гайским и Гаевичем. Но суффикс «-цк-» конкретно указывает на дворянское или шляхетское происхождение в прошлом — такую фамилию чаще носили люди, владевшие землёй или имевшие герб, а не просто крестьяне. Впрочем, со временем сословные границы стёрлись, и сегодня Гаицкая — просто редкая и звучная фамилия с чёткой «лесной» географией.