Фамилия Гаужаев — редкая и неочевидная с точки зрения русского уха. На первый взгляд в ней угадывается тюркская или кавказская основа, и это верное направление. Суффикс -ев указывает на русскую модель оформления фамилий (патроним на «чей?»), но сама корневая часть Гаужа- явно не славянского происхождения. Скорее всего, перед нами русифицированная форма фамилии, бытующей у народов Северного Кавказа, в первую очередь у чеченцев и ингушей.

Разбираем корень. В чеченском и ингушском языках есть основа «гIаж» (произносится как «гаж»), означающая «трость», «посох» или «палка». Слово «гIажа» может также относиться к человеку с палкой, хромому или опирающемуся на посох. Фамилия Гаужаев, вероятно, восходит к личному прозвищу Гаужа (или ГIажа) — «человек с тростью». Вайнахские фамилии часто образуются от прозвищ, описывающих внешность, физический недостаток или привычку: «Тот, кто ходит с посохом». При переходе в русскую среду звук «гI» (гортанный смычный) превратился в привычное «г», а фамилия получила русский суффикс принадлежности.

Вторая версия, менее вероятная, связывает фамилию с тюркским словом «гаужа» (искажённое от «каужа» или «гауза») — так в некоторых диалектах называли ореховое дерево или рощу. Но для Северного Кавказа такая семантика нехарактерна, а вот прозвище по физической примете — типичный способ именования в горских обществах XIX века.

Географически фамилия Гаужаев встречается в Чечне, Ингушетии, а также среди чеченских переселенцев в Дагестане и в среде вайнахской диаспоры. В дореволюционных метриках и ревизских сказках эта фамилия почти не фиксируется — она оформилась и закрепилась уже в советское время, когда горцам массово давали паспорта с русифицированными окончаниями. До этого носители могли писаться как Гаужа, Гаужаев, ГIажаев, в зависимости от грамотности писаря.

Сословно предки Гаужаевых, скорее всего, относились к свободным общинникам (у чеченцев и ингушей не было крепостного права в классическом понимании). Никаких сведений о дворянских корнях или массовом переселении этой фамилии в центральную Россию нет. Фамилия осталась локальной, крепко привязанной к своему региону.