Фамилия Гайчикова в её нынешнем виде — это женская форма, а её основа мужская — Гайчиков. Чтобы понять её происхождение, стоит сразу обратить внимание на редкий и характерный суффикс -иков. В русских фамилиях этот суффикс обычно указывает на происхождение от прозвища или имени, оканчивающегося на -ик (например, Гайчик, а не просто Гай). Это сразу отличает её от более массовых фамилий на -ов или -ин.

Корень «Гайч-» почти наверняка восходит к слову «гай» — в южнорусских и украинских говорах так называют лиственный лес, рощу. Человек по прозвищу Гай, Гайка или Гайчик мог быть лесным жителем, лесником, либо выходцем из села с названием Гай, Гайки (таких немало на Украине и в Белгородской области). Однако есть и вторая, менее очевидная версия: в некоторых диалектах «гайка» — это не только деталь, но и прозвище бойкого, шумного человека (от «гай» в значении «шум, гам»). В таком случае Гайчик — уменьшительное от Гайка, то есть «маленький шумный» или «сын того, кого звали Гайка».

Словообразовательная модель проста: прозвище Гайчик (или Гайка → Гайчик) → притяжательное прилагательное «Гайчиков сын» → фамилия Гайчиков. Суффикс -иков здесь работает как указатель на принадлежность, и он закрепился в фамилиях, образованных от имён и прозвищ на -ик, -ко, -ка, чтобы избежать двусмысленности (сравните: Гайков — от Гай, Гайчиков — от Гайчик).

Географически фамилия Гайчиков (и Гайчикова) встречается в основном на юге России и в восточных областях Украины — в зоне распространения говоров, где слово «гай» было в ходу. В центральных и северных регионах она редка. В дореволюционных списках и переписях её носители чаще всего были крестьянами или однодворцами, что косвенно подтверждает бытовое, а не церковное происхождение прозвища.

Споров вокруг этимологии почти нет: лингвисты (например, в работах Б. Унбегауна по русским фамилиям) единодушно связывают такие фамилии с географическими или личными прозвищами от «гай». Версия о тюркском корне (от «гайчи» — «перевозчик» или «лодочник») маловероятна: она не объясняет суффикс -иков, который типичен для славянской модели, и не подтверждается ареалом фамилии.