Фамилия Гаюк — редкая, и её происхождение нужно выводить не из одного корня, а из двух возможных, в зависимости от региона и этнической среды. Самая вероятная версия — украинско-белорусская, где фамилия образована от прозвища Гаюк. В основе лежит слово «гай» — небольшой лиственный лес, роща. Суффикс -юк характерен для западноукраинских и белорусских фамилий (как Бурдюк, Костюк, Павлюк) и обычно указывает на уменьшительность или принадлежность: Гаюк — «живущий в гаю» или «сын Гая». То есть предок мог быть лесником, жить на опушке или просто получить прозвище по месту обитания.

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — тюркская. В ряде тюркских языков «гай» или «гаюк» означает «крутой берег», «обрыв» или «скала». Если фамилия встречается у потомков крымских татар, ногайцев или в южнорусских степных областях, её могли дать человеку, жившему у обрыва или на высоком берегу реки. Однако в русской ономастике эта версия остаётся гипотетической, без массового подтверждения.

Обратите внимание на суффикс. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев (Гаев) или -ин (Гаин), форма Гаюк чётко указывает на западнорусское или украинское происхождение. Фамилия недворянская, крестьянская или казачья — носителями чаще всего были люди из сельской местности Черниговщины, Волыни, Подолья или Гомельщины. Встречается она и у поляков (Gajuk), но в польском варианте основа та же — «гай».

Если ваши предки носили фамилию Гаюк, ищите корни в западных областях Украины или на юге Беларуси. В документах XVIII–XIX веков такую фамилию могли записать и как Гаюк, и как Гаюков (под влиянием русской канцелярии), но исходная форма именно без суффикса -ов. Разговорное значение фамилии — «лесной человек» или «тот, кто из рощи».