Фамилия Герасмимова — это, скорее всего, вариант написания более распространённой фамилии Герасимов. В русском языке буква «с» могла замениться на «см» из-за диалектного произношения или ошибки писаря при записи. Основа фамилии — мужское имя Герасим. Оно происходит от греческого «герасмиос» — «почтенный», «уважаемый». Суффикс «-ов» (в женском роде «-ова») указывает на принадлежность: Герасмимова — дочь или жена человека по имени Герасим.

Корень у фамилии церковный: имя Герасим носили несколько святых, в том числе преподобный Герасим Иорданский. В крестьянской и мещанской среде России имя было популярно, особенно в центральных и южных губерниях. Поэтому предки носительницы фамилии с большой вероятностью были из числа крестьян или посадских людей, которым давали фамилию по имени отца или деда.

Редкое написание «Герасмимова» (вместо «Герасимова») может указывать на региональную особенность. В некоторых говорах, особенно на севере и в Поволжье, звук «с» перед мягким «м» произносили удлинённо или с призвуком «м». Писарь, записывая фамилию на слух, мог зафиксировать именно такой вариант. Встречается также написание Герасимова, и обе формы считаются вариантами одной фамилии, но «Герасмимова» — более редкая и может быть локальной.

Сравните с однокоренными фамилиями: Герасимов, Герасименко, Герасимчук, Герасимович. Все они восходят к тому же имени, но различаются суффиксами, указывающими на происхождение: «-ов» — русский патроним, «-енко» и «-чук» — украинские, «-ович» — белорусский или польский. Ваш вариант «Герасмимова» — исключительно русский по модели образования, но с нестандартной орфографией.