Фамилия Гереженко звучит как типичная украинская фамилия, и это верно: её выдает суффикс -енко, который в Украине с XVI–XVII веков означал «сын» или «потомок» (подобно русскому -ов/-ев). Если разобрать фамилию на части, основа — Гереж-, а -енко — патронимический суффикс. Но вот с самой основой всё сложнее: прямого украинского слова «гереж» или «гережа» в литературном языке нет. Это наводит на мысль, что фамилия произошла от прозвища или диалектного слова.

Скорее всего, основа «Гереж» — это искаженная или адаптированная форма от имени или прозвища. Например, могло быть личное имя Герей (сокращение от греческого имени Герман или Георгий через народную переделку), к которому добавили уменьшительный суффикс -еж. В украинских говорах встречается слово «герега» — так могли называть неуклюжего, медлительного человека, или же это прозвище, связанное с глаголом «гереготати» (громко кричать, шуметь). Тогда Гереженко — «сын того, кого прозвали Герегой» (с переходом г в ж перед суффиксом).

Есть и другая версия, связанная с географией. Фамилия Гереженко почти не встречается в центральной Украине, но фиксируется в южных и восточных областях (Запорожье, Днепропетровщина, Харьковщина). Там могло быть влияние тюркских языков: корень «гере» в некоторых тюркских наречиях означает «пришлый», «чужак», а «гереж» — «переселенец». Тогда Гереженко — «сын переселенца», что логично для региона, где активно осваивали земли запорожские казаки и беглые крестьяне.

Что важно: фамилия не дворянская и не книжная. Она бытовала в крестьянской и казацкой среде. Первые письменные упоминания, вероятно, относятся к XVIII–XIX векам, когда на юге Украины фиксировали фамилии при переписях. Носители Гереженко могли быть ремесленниками, хлеборобами или мелкими торговцами, но точных данных о сословии нет — фамилия слишком редкая, чтобы строить обобщения.

Итог: Гереженко — украинская фамилия, образованная по модели «сын Гережа», где прозвище Гережа могло означать либо «крикун», «неуклюжий», либо «переселенец». Она привязана к югу Украины и отражает живую народную речь, а не официальную ономастику.