Фамилия Гейшторова — женская форма фамилии Гейшторов, и её происхождение напрямую связано с польско-литовской шляхетской средой. В отличие от распространённых русских фамилий на -ов/-ев, образованных от крестильных имён или прозвищ, Гейшторов имеет ярко выраженный балтийский (литовско-жемайтский) след. Основа фамилии — литовское слово geišta или geišti, что означало «тянуться», «стремиться», «жаждать». В переносном смысле так могли назвать человека настойчивого, упорного, даже алчного до чего-либо.

Самый вероятный путь появления фамилии — от личного прозвища Гейштор (Giejsztor, Gejštaras). В Великом княжестве Литовском такие прозвища не были редкостью: они фиксировали характерную черту человека. Суффикс -ов в русской передаче указывает на принадлежность («чей?» — сын Гейштора), а женский вариант на -а — на то, что носительница — дочь или жена человека с такой фамилией. То есть Гейшторова — это «женщина из рода Гейшторовых».

С географической точки зрения фамилия тяготеет к западным губерниям Российской империи — Виленской, Ковенской, Гродненской. Там, в среде полонизированной литовской шляхты, такие фамилии на -ор, -ар были типичны (сравните: Довгялло, Нарбут, Монтвид). В XIX веке часть носителей переселилась в центральную Россию и на Украину, но до сих пор фамилия остаётся редкой и узнаваемо «польско-литовской».

Обратите внимание на ударение: в русском языке оно обычно падает на второй слог — Гейшто́рова, хотя в польском оригинале (Giejsztor) ударение ставится на первый. Эта разница — следствие адаптации при переходе из литовско-польской языковой среды в русскую. Если ваши предки были Гейшторовыми, скорее всего, они принадлежали к обедневшей шляхте, которая после разделов Речи Посполитой теряла сословные привилегии и записывалась в мещане или однодворцы.

Других версий — от тюркских или немецких корней — у этой фамилии нет. Сплошная балтийская основа, без вариантов.