Фамилия Гейворонская — женская форма от Гейворонский, а та, в свою очередь, образована от названия населённого пункта. В основе лежит топоним Гейворон или Гайворон. Это название нередко встречается в южнорусских и украинских землях: село Гайворон в Брянской области, город Гайворон в Кировоградской области Украины, а также несколько хуторов с похожими названиями. Слово «гайворон» в южных говорах означало грача или ворону, но в топоним оно перешло, скорее всего, через прозвище человека — «Гайворон» могли дать черноволосому, крикливому или просто похожему на птицу человеку. Однако фамилии на -ский/-ской в массе своей указывают на владельческую или географическую принадлежность: Гейворонский — это тот, кто родом из Гейворона, или помещик, которому эта земля принадлежала.

Обратите внимание на суффикс -ск-, который в русской ономастике считается «дворянским» или «шляхетским». Такие фамилии в XVII–XIX веках часто получали выходцы из духовенства (семинаристы, которым давали фамилии по названиям сёл) или люди, переехавшие в город и взявшие фамилию по месту прежнего жительства. Модель «Гейворон + ский» характерна для украинской и польской традиции, где топонимические фамилии на -ський/-ski были нормой для шляхты и казацкой старшины. Поэтому маловероятно, что фамилия произошла напрямую от прозвища «гайворон» (хотя такая линия тоже возможна для простонародья, но тогда мы бы увидели форму Гайворонов, а не Гейворонский).

Написание через «е» (Гейворонская) вместо привычного «а» (Гайворонская) — либо следствие аканья, закреплённого на письме, либо более поздняя канцелярская ошибка при записи фамилии. В документах встречаются оба варианта, и они считаются взаимозаменяемыми. Если ваши предки были из южных губерний Российской империи (Курской, Орловской, Харьковской), то почти наверняка они носили фамилию по названию села Гайворон, которое стоит на реке Быстрая Сосна в нынешней Брянской области.