Фамилия Годонога — редкая, составная, и её происхождение лежит на поверхности: перед нами прозвище, построенное по модели глагол + существительное. Первая часть — «годо» от «годить» (ждать, медлить, выжидать), вторая — «нога». Человек, которого так окрестили, мог быть медлительным, нерасторопным, ходить «с прохладцей» или, наоборот, хромать, припадать на ногу — то есть буквально «годить ногой», задерживать шаг. В русских говорах слово «годяй» означало «лентяй» или «медлительный работник», так что прозвище могло относиться не к походке, а к характеру.

Подобные двусоставные прозвища — не редкость в русской ономастике. Сравните: Вертихвост, Сорвиголова, Ухватов. Но если большинство таких фамилий оканчиваются на -ов (Вертихвостов, Сорвиголовов), то Годонога сохранила форму чистого прозвища, без патронимического суффикса. Это говорит о том, что фамилия могла закрепиться в крестьянской среде северных или центральных губерний, где прозвища нередко переходили в фамилии без изменений, особенно если семья была малочисленной или жила обособленно.

Спорных версий тут немного. Можно было бы предположить связь с южнославянским «год» (время, год) или тюркским «года» (большой), но это натяжки: основа «нога» слишком конкретна и бытовала именно в русской языковой среде. Куда правдоподобнее, что Годонога — это «медлительный пешеход» или «тот, кто хромает», а не «нога времени».

В дореволюционных метрических книгах фамилия почти не встречается — единичные фиксации возможны в Вологодской, Костромской или Пермской губерниях, где сохранялись архаичные говоры и прозвищные фамилии. Сейчас носителей Годонога в России немного, и большинство из них, скорее всего, потомки одной семьи, разошедшейся по стране в XX веке. Если вы носите эту фамилию, у вас есть редкая возможность проследить родословную по одной ветке — генеалогический поиск тут будет узким, но точным.