Фамилия Гоиков — редкий случай, когда корень слова не лежит на поверхности и не связан с очевидным ремеслом или именем. Её основа — «Гоик», а суффикс «-ов» указывает на принадлежность: буквально «сын Гоика» или «человек из рода Гоиковых». Вопрос в том, что скрывается за этим «Гоиком».

Самая вероятная версия — диалектное или искажённое прозвище. В южных и западных русских говорах «гойкать» означало кричать, шуметь, издавать громкие звуки (ср. «гойкать» — аукать, перекликаться в лесу). Тогда Гоиком могли прозвать крикливого человека, запевалу или того, кто работал в поле и перекликался с другими. Такие прозвища по манере поведения — «Крикун», «Шумный» — часто ложились в основу фамилий без дополнительных суффиксов, а «Гоик» — их краткая, почти звукоподражательная форма.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркским или кавказским именем Гой (встречается у народов Северного Кавказа, означает «синий» или «небо»). С суффиксом «-ик» (уменьшительным или принадлежным) такое имя могло адаптироваться в русской среде. Однако в фамилиях славянского происхождения суффикс «-ик» чаще указывает на носителя признака (ср. «Горбик» — горбатый), чем на уменьшительную форму чужого имени, поэтому первая версия выглядит органичнее.

Географически фамилия встречается крайне редко, преимущественно в центральных и южных областях России — там, где бытовал глагол «гойкать». В дореволюционных переписях она почти не фиксируется, что говорит о её позднем оформлении или локальном распространении. Сословно носители, скорее всего, были крестьянами или однодворцами, а прозвище могло закрепиться за одним родом в конкретной деревне.

Родственных фамилий с тем же корнем почти нет. Можно вспомнить разве что фамилию Гойков (через «й»), которая встречается чаще и могла возникнуть независимо, но по той же модели — от прозвища Гойко. Вариант «Гоиков» (с двумя «и») — ещё более узкий, почти штучный случай, возможно, результат описки в документах или местного произношения.

Коротко: предки носителя фамилии Гоиков, скорее всего, получили прозвище за голос — громкий, зычный, привычку перекликаться в работе или на охоте. Это прозвище, пройдя через суффикс «-ов», закрепилось за родом и дошло до наших дней в редком, но характерном для русской ономастики виде.