Фамилия Голенищенко образована по распространённой восточнославянской модели с суффиксом -енко, который в украинской и южнорусской традиции означал «сын» или «потомок». Буквально Голенищенко — «сын Голенища». Основа фамилии — прозвище Голенище, и здесь есть несколько версий происхождения.

Самая прямая связь — с сапожным ремеслом. Голенище — это часть сапога или валенка, закрывающая голень. Прозвище могли дать сапожнику, который шил голенища, или просто человеку, который носил сапоги с необычно высокими голенищами — такая деталь бросалась в глаза и легко становилась прозвищем.

Менее очевидный, но возможный вариант — от глагола «голенить», то есть покрикивать или петь рабочую песню. В этом случае Голенищем могли назвать запевалу в артели или человека с громким голосом. Эта версия менее распространена, но имеет право на существование, так как в народной культуре прозвища нередко давались по манере поведения или голосу.

Интересно, что однокоренное прозвище Голенище встречается в древнерусской аристократической среде. Например, у С. Б. Веселовского в ономастиконе упомянут Василий Ананьич Голенище Кутузов (вторая половина XV века) — от него пошёл знаменитый род Голенищевых-Кутузовых. Однако фамилия Голенищенко, с суффиксом -енко, указывает скорее на простую, крестьянскую или казацкую среду, где такие прозвища передавались по наследству в уменьшительно-сыновней форме.

Таким образом, Голенищенко — это фамилия, которая с большой вероятностью связана либо с сапожным делом, либо с характерной внешней деталью одежды предка. Версия с «певцом» возможна, но менее надёжна из-за редкости глагола «голенить» в живой речи.