Фамилия Ильязарова — редкий случай, когда тюркская основа и русский суффикс встретились в почти «интернациональном» звучании. Разберём её по частям.

Корень фамилии — Ильязар. Это имя, которое в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) образовано слиянием двух компонентов: «иль» (страна, родина, народ) и «язар» (будет писать, пишущий). В буквальном смысле Ильязар означает «тот, кто пишет судьбу народа» или «летописец страны». Однако в бытовой ономастике такие имена чаще давали с пожеланием ребёнку стать грамотным, учёным человеком, писцом или чиновником.

Суффикс -ов(а) — классический русский патронимический формант, указывающий на принадлежность: «Ильязарова» буквально значит «дочь (или жена) Ильязара». Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Ильяза́рова, хотя в разговорной речи возможны варианты.

Географически фамилия встречается в основном у татар и башкир, а также у народов Кавказа (например, у лезгин или азербайджанцев), где имя Ильязар тоже известно, но в форме Эльязар или Ильясар. В русском контексте фамилия могла появиться при крещении или при переписи населения, когда тюркское имя записывали с русским окончанием.

Интересная деталь: если сравнить Ильязарова с фамилиями вроде Ильясов (от Ильяс) или Язаров (от Язар), то видно, что основа «Ильязар» — не усечённая, а полная, что говорит о позднем оформлении фамилии (XVIII–XIX века), когда уже не «резали» имя для экономии слогов. В то же время двойная основа (иль + язар) — признак составного имени, что типично для тюркской антропонимии, где часто соединяли два понятия в одно.

Таким образом, предки носительницы фамилии Ильязарова скорее всего были тюркоязычными мусульманами, возможно, из среды грамотных людей или духовенства, а сама фамилия — не про прозвище или ремесло, а про имя-пожелание, которое дали родоначальнику.