Фамилия Инджиевская — одна из тех, что сразу выдают женскую форму. Перед нами не исходная фамилия, а производная от мужской — Инджиевский. Такое окончание (-ский/-ская) в русской ономастике почти всегда указывает на дворянское или польское происхождение, но здесь случай сложнее. Суффикс -евск- типичен для фамилий, образованных от географических названий: если предок владел или был родом из места с корнем «Инджиево», «Инджиев» или похожим, то его потомки получали прозвание по владению. Однако «Инджиевская» звучит не по-великорусски — основа явно тюркская или кавказская.

Корень «инджи» (или «инджик») восходит к тюркским языкам, где означает «жемчуг», «бисер» или «мелкая драгоценность». В османском, азербайджанском, крымскотатарском «инджи» — это именно жемчуг. В таком случае Инджиевский — это фамилия, образованная от прозвища Инджи (жемчужина). Прозвище могли дать человеку с белоснежной кожей, редкой красоты или, напротив, ювелиру, торговавшему жемчугом. В пользу этой версии говорит и то, что фамилии на -ский с тюркской основой нередко встречаются у крымских татар, караимов, а также у армян и греков, живших в Крыму и Приазовье. Там модель «Инджиев» (сын Инджи) была распространена, а при переселении или получении дворянства фамилию могли «облагородить», добавив суффикс -ский.

Вторая версия — топонимическая. В Крыму и на Кубани есть несколько урочищ и балок с названием Инджи (например, балка Инджи в окрестностях Феодосии). Если предок происходил из такого места, его могли записать как Инджиевский — «тот, кто из Инджи». Но в таком случае ожидалась бы форма Инджинский, а не Инджиевский, поэтому версия с прозвищем выглядит надёжнее.

Сословно фамилия Инджиевская не обязательно дворянская. На юге Российской империи, особенно среди казачества и мещан, фамилии на -ский часто давали при поступлении в учебные заведения или при переходе в другое сословие. Например, сын купца Инджиева, окончив гимназию, мог получить фамилию Инджиевский. Женская форма Инджиевская закрепилась как фамилия жены или дочери такого человека.

В написании фамилия устойчива: двойное «с» в суффиксе — норма для фамилий на -ский, хотя в бытовых записях XIX века встречается вариант Инджиевская (с одним «с»). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Инджи́евская, хотя в разных семьях могло сместиться на третий — Инджие́вская.

Если ваша фамилия Инджиевская, то корни, вероятно, ведут в Крым, Приазовье или на Кубань, а предок мог быть либо человеком редкой внешности (жемчужина), либо торговцем драгоценностями, либо выходцем из местности с тюркским названием. Точнее сказать без генеалогического поиска сложно — фамилия редкая и не попала в основные ономастические справочники.