Фамилия Инсарский — один из тех случаев, когда географическое происхождение почти не вызывает споров. В её основе лежит название реки Инсар, протекающей в Мордовии, и одноимённого города (ныне районный центр в Республике Мордовия). Человек, получивший такую фамилию, скорее всего, был выходцем из этих мест — либо из самого Инсара, либо из окрестных селений вдоль реки.

Модель образования типична для русских «географических» фамилий: суффикс -ский указывает на связь с местностью. Первоначально Инсарским могли называть помещика, владевшего землями в тех краях, или чиновника, получившего дворянство по выслуге и приписанного к инсарскому уезду. Но чаще всего такие фамилии закреплялись за духовенством: в семинариях будущим священникам нередко давали фамилию по названию родного села или города. Поэтому Инсарский — это почти наверняка «семинарская» фамилия, возникшая в среде русского православного духовенства в XVIII–XIX веках.

Сам топоним Инсар имеет финно-угорские корни. По одной из версий, он восходит к мордовским (эрзянским) словам: «ин» — «великий, большой» и «сар» — «осока, болотистое место». То есть Инсар — «большое болото» или «река, текущая по осоке». Другая версия связывает название с тюркским «ин» (пещера, нора) и «сара» (желтый), что менее убедительно для этой местности.

От реки Инсар образованы и другие, более редкие фамилии: Инсаров, Инсаркин, но Инсарский — самая «географически прозрачная». В дореволюционных справочниках она встречается в основном в записях о священниках Симбирской и Пензенской губерний — именно эти регионы граничили с Инсарским уездом. Так что, если ваши предки носили эту фамилию, с большой долей вероятности они были либо сельскими священниками, либо выходцами из духовного сословия, чья родословная тянется в мордовское пограничье.