Фамилия Иньжакова — женская форма от мужской фамилии Иньжаков. Её основа — прозвище или нецерковное имя Иньжак, а разобрать это имя можно как минимум двумя способами, и оба ведут в разные регионы и эпохи.

Первая и самая вероятная версия — тюркское происхождение. В татарском, башкирском и других тюркских языках есть корень «иньж» (инже, индже), который означает «тонкий», «нежный», «изящный». Слово «инжек» или «инжекэй» могло быть ласкательным именем для ребёнка: так называли хрупкого, стройного или просто любимого малыша. Суффикс «-ак» в тюркских именах часто образует уменьшительную или прозвищную форму (сравните: Кул — Кулак, Тимур — Тимурак). Таким образом, Иньжак — это «тоненький», «нежный». Фамилия Иньжаковы характерна для татар, башкир и чувашей, встречается в Поволжье и на Южном Урале.

Вторая версия, менее распространённая, но лингвистически возможная, — связь с диалектным русским словом «инька» или «иньга». В некоторых говорах так называли иней или мелкий, колючий снег (сравните: «инь» — иней). В этом случае Иньжак могло быть прозвищем человека с седыми волосами, холодным характером или бледной кожей. Однако эта версия слабее: суффикс «-жак» не характерен для русской прозвищной модели, а вот для тюркской — типичен.

Фамилия образована по стандартной русской патронимической модели: к основе Иньжак добавили суффикс принадлежности «-ов», получив Иньжаков, то есть «сын Иньжака». Женская форма Иньжакова указывает на то, что носительница — дочь или жена Иньжакова.

Сословно фамилия не элитарная: Иньжаковы — скорее всего, крестьяне или мещане из регионов с сильным татарским или башкирским влиянием. Встречается фамилия нечасто, что подтверждает её локальный характер: основная масса носителей живёт в Татарстане, Башкортостане и соседних областях.

Таким образом, если вы Иньжакова, ваши предки, скорее всего, были тюркоязычными людьми, которых в семье ласково называли «тоненьким» или «нежным» — прозвище закрепилось и перешло в фамилию.