Фамилия Иньшакова — женская форма, а её мужской вариант Иньшаков образован от прозвища или имени Иньшак. В основе лежит древнерусское некалендарное имя Иньша, которое встречается в документах XV–XVII веков. Имя это, скорее всего, связано с числительным «иной» или «инъ» — то есть «другой», «чужой», «нездешний». В старину так могли назвать ребёнка, родившегося не в срок, или пришлого человека, который поселился в новой местности. Суффикс -ак в прозвище Иньшак — характерный для северных и северо-восточных русских говоров (вологодских, архангельских, вятских), он придавал имени оттенок уменьшительности или принадлежности: Иньшак буквально «маленький Иньша» или «сын Иньши».

Словообразовательная модель фамилии типична для русской ономастики: прозвище на -ак → притяжательное прилагательное с суффиксом -ов → фамилия. То есть Иньшаков — это «сын Иньшака», а Иньшакова — «дочь или жена Иньшакова». Поскольку фамилия заканчивается на -ов, она принадлежит к самой массовой группе русских фамилий, которые первоначально закреплялись за крестьянами и посадскими людьми после отмены крепостного права. Дворянских родов с такой фамилией в истории не зафиксировано.

Географически фамилия Иньшаков (и Иньшакова) тяготеет к Поволжью и Уралу. По данным современных телефонных справочников, наибольшая концентрация носителей — в Пермском крае, Кировской области и Татарстане. Это подтверждает связь с севернорусскими говорами: именно оттуда шла колонизация Прикамья и Вятки. Встречаются также варианты написания — Иньшаков, Иньшеков, но основная форма сохраняет корень с твёрдым шипящим.

Отдельного внимания заслуживает редкость фамилии. Иньшаковых нет среди массовых русских фамилий, в списках частотности она не входит даже в первую тысячу. Это указывает на то, что родоначальник был единственным носителем прозвища в своей округе, и фамилия не распалась на множество ветвей. Если вы носите эту фамилию, велика вероятность, что все Иньшаковы в России — родственники, пусть и очень дальние.