Фамилия Иньшаков — редкий случай, когда основа, скорее всего, не связана напрямую с личным именем или профессией, а происходит от прозвища, образованного от диалектного глагола. В русских говорах, особенно в северных и сибирских регионах, слово «иньшать» означало «искать, выискивать, рыться». Соответственно, Иньшак — это человек, который постоянно что-то ищет, копается, возможно, дотошный или суетливый. Такое прозвище могли дать непоседливому ребенку или взрослому с привычкой всё перебирать и проверять.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к прозвищу Иньшак. Суффикс -ак в прозвищах часто придавал оттенок характерного признака (ср. Гуляк, Смеляк), поэтому Иньшак — это «тот, кто иньшает». Фонетически фамилия могла закрепиться именно в такой форме из-за аканья или местного произношения, где «и» переходило в «ы» — Ыньшаков, но на письме сохранился литературный вариант.

Версия о происхождении от тюркского имени Иньша (возможная параллель с татарским «инеш» — ручей) менее убедительна, хотя полностью исключать её нельзя, особенно если фамилия бытует в Поволжье. Однако глагольная основа «иньшать» встречается в диалектологических словарях, что делает прозвищную версию основной.

Географически фамилия Иньшаков не привязана к одной губернии, но чаще встречается в документах по Архангельской и Вологодской областям, что косвенно подтверждает севернорусское происхождение глагольной основы. Носители фамилии, скорее всего, происходят из крестьянской или посадской среды, где прозвища закреплялись за характерными чертами поведения.

Других однокоренных фамилий, кроме Иньшаков, практически нет, что делает её ономастически изолированной и особенно ценной для локальной истории. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на переписи крестьян Русского Севера XVII–XVIII веков — именно там могло жить первое лицо, названное Иньшаком.