Фамилия Иньшиков — редкая и с точки зрения словообразования, и по корню. Её основа — Иньша — в современном русском языке не встречается, но в древнерусских и диалектных источниках оставила след. Разбираем по порядку.

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Иньши). Ударение, скорее всего, падает на первый слог: И́ньшиков, хотя в устной речи возможны варианты.

Корень Иньш- — это, вероятнее всего, производное от канонического имени Иннокентий. В народной русской традиции длинные имена часто усекали и переделывали до неузнаваемости: Иннокентий — Кеша, Кеш, но мог появиться и вариант Иньша (через переход «к» в «нь» под влиянием мягкого произношения, ср. Акинфий — Акиньша). Такая версия подтверждается ономастическими данными: форма Иньша (или Иньш) фиксируется в писцовых книгах XVI–XVII веков как прозвище или нецерковное имя. Второй возможный, но менее вероятный вариант — от диалектного глагола «иньшить» (в некоторых говорах — «кричать, пищать» или «делать что-то мелко, кропотливо»). Тогда прозвище Иньша могли дать человеку с тонким голосом или скрупулёзному мастеру.

В пользу первой версии говорит то, что фамилии на -ин/-ов от сокращённых форм крестильных имён — массовое явление. Иньша как уменьшительное от Иннокентия — вполне в ряду Алеша, Миша, Гриша. Географически фамилия Иньшиков встречается точечно, преимущественно в центральных областях России (Владимирская, Нижегородская, Рязанская губернии), что совпадает с ареалом бытования старых форм имени Иннокентий.

Таким образом, предок современных Иньшиковых, скорее всего, был человеком по имени Иньша — то есть Иннокентий в народном, домашнем варианте. Фамилия закрепилась за его потомками, как это происходило у крестьян и посадских людей в XVII–XVIII веках, когда отчество стало передаваться по наследству. Никакого татарского или инородческого следа, вопреки возможным догадкам, здесь нет — это чисто русская фамилия, образованная по стандартной модели от русского же имени.