Фамилия Инжилева — женская форма фамилии Инжилев, и её разбор стоит начать с неочевидного, но ключевого элемента: суффикса «-ев». В русских фамилиях этот суффикс обычно присоединяется к основам на мягкий согласный или на «й» (например, Андреев — от Андрей). Однако основа «Инжил» на письме заканчивается на твёрдый «л», что для «-ев» нетипично — стандартом здесь был бы суффикс «-ов». Эта орфографическая особенность указывает на то, что в исходном прозвище или имени звук «л» был мягким, возможно, произносился как «ль»: Инжиль. Такая мягкость характерна для южнорусских и украинских говоров, где твёрдый «л» часто смягчался под влиянием польского или белорусского языка.

Сама основа «Инжил» — редкая и неоднозначная. Самое прямое объяснение лежит на поверхности: инжил — это переосмысление слова «инжир» (фиговое дерево). В русских диалектах, особенно на юге и в казачьих областях, «инжир» могли называть «инжилом» или «инжилой» — с заменой «р» на «л» по аналогии с другими заимствованиями (ср. «кружель» от «кружево»). Тогда прозвище Инжил мог получить человек, который торговал инжиром, выращивал его или просто был сухощавым и смуглым, как плод. Однако есть и другая, менее очевидная версия: фамилия могла возникнуть от тюркского корня «инж(и)» — «жемчуг» (ср. татарское «энҗе»). В этом случае «Инжил» — это форма с уменьшительным или ласкательным тюркским аффиксом «-л», что значит «жемчужинка». Такое прозвище могли дать светловолосому или дорогому сердцу ребёнку.

Географически фамилия Инжилева встречается в основном в Ростовской области, Краснодарском крае и на Ставрополье — регионах, где веками смешивались русские, украинские и тюркские народы. Там же, в казачьей среде, слово «инжил» бытовало как диалектное название инжира. Социальный контекст подсказывает, что носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами южных губерний, а не дворянами: фамилии на «-ев» от прозвищ, а не от календарных имён, редко встречаются в высших сословиях.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Инжиров, Инжирный, Инжилов — показывает, что вариант с «-ев» самый редкий. Инжиров встречается чаще и звучит «по-русски» стандартно, а Инжилев сохраняет диалектный след. Если ваш предок носил фамилию Инжилев, он, вероятно, был выходцем из среды, где говорили на южнорусском говоре, и его прозвище было связано или с торговлей сушёными плодами, или с нежным ласкательным именем, данным в семье. Точного ответа без архивов не получить, но эти две версии — самые правдоподобные.