Фамилия Ирклий — редкая, и её происхождение неочевидно. Сразу скажем: это не русская фамилия в привычном понимании, и её корни, скорее всего, ведут в Грузию или, шире, в регионы Закавказья. В русском языке она выглядит как искусственная или книжная, потому что не имеет продуктивных славянских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Окончание -ий в русском языке типично для прилагательных или для церковных имён (Василий, Григорий), но здесь оно, вероятно, отражает грузинскую основу.

Самая вероятная версия: Ирклий — это русифицированная форма грузинской фамилии Ирклишвили или Ирклидзе. В Грузии суффиксы -швили и -дзе означают «сын» или «потомок». Основа «Иркли» восходит к личному имени Иркли, которое, в свою очередь, связано с греческим именем Ираклий (в честь героя Геракла). В Грузии это имя было распространено благодаря христианской традиции — святой Ираклий. Таким образом, предок человека с фамилией Ирклий мог быть сыном или потомком некоего Иркли (Ираклия).

Есть и альтернативная, но менее правдоподобная версия: фамилия могла возникнуть из прозвища, связанного с тюркским словом «иркли» — «сильный, могучий». Однако для русского быта такое прозвище нетипично. Учитывая, что фамилия не получила распространения в центральной России, а её носители встречаются в основном на Кавказе или в среде потомков грузинских эмигрантов, первая версия — основная.

Говорить о сословии носителей сложно: фамилия могла принадлежать как княжескому роду (в Грузии многие фамилии на -дзе носили дворяне), так и простым крестьянам или ремесленникам. В дореволюционных метрических книгах Ирклиев или Ирклиевых почти нет, что подтверждает её локальный и нерусский характер. Если вы встретили эту фамилию в России, скорее всего, у ваших предков были грузинские корни, и фамилию записали на слух, отбросив грузинский суффикс.