Фамилия Иржаковская звучит как типичная дворянская или шляхетская, и это первое, что приходит на ум: суффикс -ск- указывает на происхождение от географического названия. Скорее всего, предок носителя фамилии владел или был родом из населённого пункта с корнем «Иржак». Такое название могло быть образовано от речки или урочища, где водилась рыба ёрш (в диалектах «ирж» или «ерж»), либо от прозвища первого поселенца — Иржак (человек с колючим, неуживчивым характером, «ершистый»). В Польше и на западе бывших русских земель фамилии на -овская/-евская часто давали по названиям имений, поэтому Иржаковская вполне могла принадлежать обедневшему шляхтичу, чей род получил имя от хутора Иржаково.

Однако есть и более прозаичная версия: основа «ирж» может быть вариантом слова «ржавчина» (в старых говорах «иржа»). Тогда прозвище Иржак давали человеку с рыжими волосами или с рыжеватой бородой — по цвету ржавого железа. Такое прозвище было бытовым, а не топонимическим, и фамилию в этом случае образовали по модели «от прозвища + суффикс принадлежности» (чей? — Иржаков), а потом добавили -ская для «облагороживания» или по женской линии. В пользу этого говорит и то, что фамилия встречается редко и не привязана к известным дворянским родам — скорее всего, это позднее искусственное образование, когда крестьяне или мещане при получении паспортов в XIX веке выбирали «красивую» форму.

С географической точки зрения, фамилия могла закрепиться на территории современной Беларуси или западной Украины — там суффикс -ский/-ская особенно распространён, и там же есть топонимы с корнем «ирж» (например, река Иржавец на Черниговщине). Спор между версиями решается просто: если бы фамилия была от реки или села, она бы чаще встречалась в документах местной шляхты, но её нет в списках. Значит, основа — прозвище, а не название. В любом случае, носительница фамилии Иржаковская может считать себя потомком либо «рыжего» предка, либо владельца небольшого хутора, имя которого кануло в историю.