Фамилия Иржак — редкий случай, когда географическая привязка очевиднее, чем этимология. Основная версия связывает её с топонимами Иржа, Иржак — названиями рек и населённых пунктов в бассейне Оки (например, река Иржа в Рязанской области). В таком случае фамилия указывает на выходца с этих земель: человека, жившего на Ирже или переселившегося оттуда. Суффикс -ак типичен для прозвищ и фамилий, образованных от географических названий (ср. Пермяк, Тоболяк); он придаёт основе значение «житель» или «уроженец».

Менее распространённая версия выводит Иржак из тюркских языков. В татарском и башкирском «иржак» (иржек) означает «смелый», «отважный», что могло быть личным прозвищем. Эта гипотеза правдоподобна для фамилий, бытующих в Поволжье и на Урале, но для центральной России, где встречается большинство Иржаков, топонимическое объяснение выглядит надёжнее. Словообразовательная модель проста: основа Ирж- + суффикс -ак, который в русских фамилиях часто застывает в исходной форме, без типичных окончаний -ов/-ев.

Фамилия нечастотна и не имеет выраженной сословной окраски: Иржаки встречаются и среди крестьян, и среди мещан. В дореволюционных источниках она фиксируется в Рязанской, Тамбовской и Нижегородской губерниях — как раз в зоне распространения гидронима Иржа. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, его родословная уходит корнями в одно из сёл на притоках Оки, где река дала имя целому краю.