Фамилия Изибаирова — редкая, и её происхождение почти наверняка ведёт в тюркскую языковую среду. Основа здесь — мужское имя Изибай или Изибаир, которое и дало фамилию по классической для многих народов модели: «чей?» — «Изибаиров», то есть потомок человека по имени Изибай.

Разбираем имя. Первая часть, «изи», с большой вероятностью восходит к башкирскому или татарскому «иҙе» (изе) — «хозяин», «владыка», «господин». В тюркской ономастике этот компонент встречается в именах-оберегах или именах-пожеланиях, подчёркивая статус или силу. Вторая часть — «бай» (богатый, состоятельный человек, господин). Сложение «Изибай» можно прочитать как «хозяин-богач» или «владыка-господин» — типичное для кочевых народов составное имя, где оба корня усиливают друг друга, подчёркивая знатность и достаток.

Географически фамилия привязана к Башкортостану и прилегающим регионам Урала и Зауралья. Суффикс -ов (-а) — русский патронимический формант, который закрепился у башкир и татар в XIX–XX веках при массовом учёте населения и паспортизации. То есть изначально носитель был Изибай (или Изибаир), а его сыновей и внуков уже записывали как Изибаировы.

Кем могли быть предки? Скорее всего, рядовыми башкирами-вотчинниками или тептярами — сословием, которое в XVIII–XIX веках жило на башкирских землях. Имя Изибай не княжеское и не религиозное, а бытовое, светское. Никакого отношения к русскому слову «изба» фамилия не имеет — это случайное звуковое совпадение, которое уводит в ложную сторону. В башкирском языке «изба» (йорт, өй) звучит совсем иначе.

Заметная деталь: написание через «и» в первом слоге (Изибаирова) — один из вариантов транслитерации. В оригинале, по-башкирски, имя могло звучать как Иҙебай, а в документах его записывали на слух, отсюда и «изи» вместо «изе». Это обычная история для фамилий, записанных русскими чиновниками с голоса.