Фамилия Извощик — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не географическое название и даже не профессия в привычном понимании «извозчик», а старое написание этого самого слова. До реформы орфографии 1918 года слово «извозчик» писали через «о»: «извощик». Фамилия закрепила именно дореформенный вариант, что сразу выдаёт её давнее происхождение — скорее всего, она оформилась в XVIII–XIX веках, когда письменная норма ещё не устоялась, а грамотность была уделом немногих.

По словообразовательной модели это типичная «профессиональная» фамилия, но без суффикса принадлежности. В русской ономастике фамилии на -ик, -чик, -щик — это обычно прозвища или обозначения занятия, перешедшие напрямую в фамилию без добавления -ов/-ев. Извощик — тот, кто занимался извозом, перевозил людей или грузы на лошадях. В XIX веке извозчики составляли заметную часть городского населения, особенно в Москве и Петербурге, и прозвище «Извощик» могли дать не только самому вознице, но и его сыну, который пошёл по стопам отца.

Интересно, что фамилия почти не встречается за пределами России — это не польский, не украинский и не еврейский вариант. Встречаемость крайне низкая: по современным базам данных, носителей не больше нескольких сотен на всю страну. Основные очаги — Центральная Россия и Поволжье, где извоз был особенно развит. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» эта фамилия не выделяется отдельно, но по типу она близка к таким, как Мельник, Кучер, Плотник — то есть к чистым прозвищам по ремеслу.

Из-за орфографической архаики фамилию могли записывать по-разному: Извощик, Извощиков, Извозчиков. Вариант с суффиксом -ов встречается чаще — Извощиков, — но именно форма без суффикса сохраняет первоначальное прозвище в неизменном виде. Если ваш предок носил фамилию Извощик, он почти наверняка происходил из крестьян или мещан, занимавшихся извозным промыслом, и фамилия закрепилась за ним в том виде, в каком её записал местный писарь — до реформы, на старый лад.