Фамилия Изюиов — редкий случай, когда написание вводит в заблуждение. Если попробовать разобрать её по составу, сразу бросается в глаза необычное сочетание «ио» на стыке корня и суффикса. В русских фамилиях стандартная модель — основа на -ий или -ей плюс суффикс -ов (например, Гордеев от Гордей). Здесь же основа оканчивается на -ий, но суффикс — -ов, а не -ев, что для фамилий от имён на -ий (типа Василий — Васильев, Димитрий — Димитриев) нетипично. Вероятнее всего, мы имеем дело с опечаткой или устойчивым искажением при записи в документах. Исходная форма, скорее всего, Изюмов.

Основа «Изюм» в русских прозвищах и фамилиях многозначна. Самое прямое объяснение — прозвище по сладкому сушёному винограду. В старину изюм был дорогим заморским лакомством, поэтому прозвище Изюм мог получить либо человек, торговавший этим товаром, либо сладкоежка, либо кто-то с прилипчивым, «сладким» характером. Вторая версия — географическая: Изюм — это город в Харьковской области, и фамилия могла указывать на выходца оттуда. Третья, менее очевидная, связана с тюркским словом «изюм» (в некоторых диалектах — «след», «тропа»), но для русской фамилии эта версия маловероятна, так как слово вошло в русский язык именно как название продукта.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Изюмов — сын Изюма. Это типичная патронимическая модель для центральных и северных регионов России в XVI–XVII веках. Если ваша фамилия пишется именно как Изюиов, стоит проверить старые метрические книги или ревизские сказки — возможно, предки носили фамилию Изюмов, а ошибка закрепилась из-за неразборчивого почерка писаря, который прочитал «м» как «ио». В любом случае, корень фамилии — яркое и запоминающееся прозвище, связанное с торговлей, лакомством или местом жительства.