Фамилия Кадюшев — редкий пример, где разбор упирается не в очевидное имя или ремесло, а в диалектное слово. Основа здесь — не «Кадя» (такого крестильного имени нет), а скорее всего прозвище Кадюш от глагола «кадить» или существительного «кадь».

«Кадить» в старых говорах означало не только совершать каждение в церкви, но и «льстить, угождать, потчевать». Человек, получивший прозвище Кадюш, мог быть либо церковным служкой (пономарём, помогавшим при каждении), либо, наоборот, льстецом и угодником. Вторая версия — от слова «кадь» (кадка, большая бочка). Тогда Кадюш — человек плотный, коренастый, «как кадка», либо бочар, делавший кади. В северных и сибирских говорах «кадюха» — это ещё и большая деревянная чаша, что усиливает связь с утварью.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей сын?» — Кадюшев. Модель образования типична для русских фамилий от прозвищ на мягкий согласный (-ш). В отличие от фамилии Кадышев (от тюркского «кады» — твёрдый, суровый), Кадюшев имеет более прозрачную славянскую этимологию. Географически фамилия встречается рассеянно, но заметно чаще — в Вологодской и Кировской областях, то есть в зоне бытования севернорусских говоров, где «кадить» в значении «льстить» и «кадь» как мера объёма были в ходу.

В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова эта фамилия не выделена отдельно, но по словообразованию она входит в группу прозвищных фамилий от глагольных основ (ср. Кадилов, Кадиков). Спор между двумя версиями решается просто: если предок был церковнослужителем, фамилия могла закрепиться в духовном сословии; если же прозвище дали по внешности или ремеслу — это крестьянская среда. Прямых указаний на дворянство или купечество у Кадюшевых нет, что типично для поздних фамилий, оформившихся в XVIII–XIX веках.

Таким образом, Кадюшев — это фамилия, которая с высокой вероятностью ведёт начало от мирского прозвища, связанного либо с церковной службой, либо с бытовой утварью и внешностью. Без генеалогического поиска по конкретной местности выбрать одну из версий нельзя, но обе они укладываются в реальную языковую картину русского Севера.