Фамилия Каверникова образована от именования Каверник, а оно, в свою очередь, скорее всего, связано с ремеслом. По версии, которую подтверждает словарь В. И. Даля, исходное слово — «коверник», то есть «ковровый мастер, ткач». Чередование гласных «о»/«а» в корне — результат «акающих» говоров: в безударном положении «о» произносится как «а», и это произношение закрепилось на письме. Так что предок современного носителя фамилии мог заниматься производством или продажей ковров. Ковёр на Руси был не просто утварью, а символом достатка и предметом долгого ручного труда, использовался и в быту, и в храмах.

Есть и другая версия: Каверник мог произойти от глагола «коверить» — «гримасничать, передразнивать». В этом случае прозвище давали весельчаку или балагуру, любителю корчить рожи. Какая из версий точнее, сказать трудно: обе имеют право на существование, но ремесленная выглядит более устойчивой, так как фамилии по профессии встречаются чаще, чем по манере поведения.

Суффикс -ов- в фамилии Каверников (женская форма — Каверникова) указывает на принадлежность: «сын Каверника». Это стандартная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или названий занятий. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, что типично для фамилий, указывающих на конкретное ремесло.

Встречаемость фамилии — средняя, сосредоточена в центральных и южных регионах России, где «аканье» исторически было нормой. Сравните с однокоренной фамилией Коверников — она встречается реже и сохраняет «правильное» написание, что тоже говорит о региональном разбросе произносительных норм.