Фамилия Кайминова — женская форма от Кайминов, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь неочевидная, и это как раз тот случай, когда стоит начать с поиска корня, а не с суффикса.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — Кайминов сын), то есть фамилия образована от личного имени или прозвища Каймин. А вот что такое «Каймин» — главный вопрос. Самая прямая версия: это вариант имени Кай, которое встречается у тюркских народов (например, у башкир и татар) и означает «твёрдый», «крепкий». В таком случае Каймин — русская адаптация с добавлением уменьшительного суффикса -ин, то есть «маленький Кай» или «сын Кая». Фамилия тогда имеет восточные корни и могла появиться в среде служилых татар или обрусевших мусульманских родов, что для Поволжья и Приуралья — обычное дело.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В некоторых говорах русского севера словом «кайма» называли край, каёмку, а «каймить» — оторачивать, делать кайму. Прозвище Кайма могли дать портному или ткачу, который специализировался на отделке одежды. Отсюда — Каймин, как вариант «сын Каймы». Но эта гипотеза слабее: суффикс -ин в таком случае был бы естественнее, но фамилия имеет -ов, что типично именно для отчеств от имён, а не от прозвищ на -а.

Географически фамилия Кайминов (и Кайминова) редкая, встречается в основном в центральной России и в Татарстане. В словарях русских фамилий она не фигурирует, что подтверждает её локальный или недавний характер. Сословно предки могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми — точных данных нет, но восточная версия происхождения делает второе более вероятным.

В итоге: скорее всего, Кайминовы — потомки человека по имени Кай (или Каймин), тюркского происхождения, который жил на территории России и чьи дети получили фамилию по отцу. Это короткая, но чёткая история без лишних домыслов.