Фамилия Казакоыв — скорее всего, результат искажения или опечатки. В русской ономастике известна и широко распространена фамилия Казаков, а написание через «о» после «к» (Казакоыв) не соответствует ни одной из типовых словообразовательных моделей. Вероятнее всего, человек, ищущий эту фамилию, столкнулся с ошибкой в документе, переписи или архиве. Однако, если считать, что перед нами именно вариант с «ы», то логичнее всего предположить, что это диалектное или историческое искажение фамилии Казаков.

Сама фамилия Казаков образована по самой частотной модели: основа «казак» + суффикс -ов. Суффикс указывает на принадлежность или родство: «сын казака» или «слуга казака». В русской традиции фамилии на -ов/-ев получали от прозвищ, профессий или имен отца. Казак в XV–XVII веках — это не обязательно воин на государственной службе. В центральных и северных губерниях России «казаком» называли вольного, независимого человека, батрака или наёмного работника, не приписанного к общине. В некоторых диалектах — бойкого, удалого парня. Поэтому предок носителя фамилии мог быть не донским или запорожским казаком, а просто вольным крестьянином или работником, которого так прозвали соседи.

Если же настаивать на написании «Казакоыв», то суффикс -ыв (а не -ов) встречается в русских фамилиях крайне редко и, как правило, в застывших формах (например, Косыгин, Болдырев — там иная морфология). В данном случае «ыв» — скорее всего, результат замены буквы при переписи или неграмотной записи. В пользу этого говорит и то, что в исторических документах (например, в переписных книгах XVII века) встречаются варианты «Казаков», «Козаков», но не «Казакоыв». География фамилии Казаков — вся Россия, но особенно плотно она представлена на Дону, в Поволжье и в центральных областях, где были казачьи общины. Если ваша фамилия пишется именно через «ы», проверьте оригинал записи — с большой вероятностью это описка, и правильный вариант всё же Казаков.