Фамилия Казютин принадлежит к распространённому типу русских фамилий, образованных от канонического имени с помощью суффикса принадлежности -ин. В основе лежит имя Казюта — производная форма от крестильного имени Кассиан. Суффикс -ут- в данном случае характерен для западнорусских и белорусских говоров, где он придавал имени ласкательно-уменьшительный оттенок. Таким образом, Казюта — это «маленький Кассиан», а Казютин буквально означает «сын Казюты» или «человек из рода Казюты».

Имя Кассиан (в народной традиции часто звучавшее как Касьян) пришло на Русь из Византии. В народном календаре святой Кассиан Римлянин считался «немилостивым»: его день (29 февраля по старому стилю) называли Касьяновым днём и связывали с бедами. Это могло повлиять на то, что имя давали реже, чем другие, а его уменьшительные формы вроде Казюта бытовали в основном в крестьянской среде, где охотно пользовались народными переделками церковных имён.

Географически фамилия Казютин тяготеет к юго-западным областям России и к Беларуси. Встречается она нечасто, что объясняется редкостью исходного имени. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно найти упоминания крестьян с именем Казюта, например, в смоленских и брянских землях. Это указывает на то, что предки современных Казютиных были, скорее всего, свободными землепашцами или ремесленниками, а не дворянами — фамилии на -ин от народных форм имён чаще всего закреплялись именно в податных сословиях.

Интересная деталь: в некоторых говорах фамилия могла писаться через «а» — Казутин, что отражает акающее произношение. Но написание Казютин закрепилось как единственно верное, поскольку сохраняет связь с исходным корнем «каз-» (от Кассиан). Если ваш предок нёс фамилию Казютин, он почти наверняка был из крестьян или мещан западных губерний Российской империи, и его родословная уходит корнями в XVI–XVII века, когда на Руси окончательно сформировались фамильные прозвания.