Фамилия Хливенко звучит на украинский лад, и это первая зацепка. Суффикс -енко — один из самых распространённых в Украине, он указывает на происхождение по отцу: Хливенко — это «сын Хливы» или «маленький Хлива». Такая модель фамилий массово закрепилась в Поднепровье и на Левобережье в XVI–XVIII веках, поэтому искать корни стоит именно там.

Основа фамилии — прозвище или мирское имя Хлива. Его происхождение спорно, но наиболее убедительная версия связывает его с диалектным словом «хлива» (или «хлев»). В южнорусских и украинских говорах «хлива» — это не только помещение для скота, но и переносное прозвище неопрятного, ленивого человека или, напротив, того, кто держит скот, то есть зажиточного хозяина. Вторая, менее вероятная гипотеза, возводит основу к глаголу «хлипать» (всхлипывать, плакать), но фонетически переход «п» в «в» нехарактерен для восточнославянских говоров, так что эта версия слаба.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Хлевный, Хлевной, Хливный — подтверждает связь с хозяйственными постройками. Встречается также форма Хливенко без перехода «е» в «ё» (не путать с редкой фамилией Хливёнко). В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксировалась преимущественно на территории Полтавской, Харьковской и Черниговской губерний — в зоне активного распространения суффикса -енко.

Социальный контекст прост: носители фамилии относились к казацкой старшине или крестьянству, редко — к мещанству. Дворянского герба с такой фамилией не зафиксировано, что типично для прозвищ, образованных от бытовых реалий. Если ваши предки носили фамилию Хливенко, скорее всего, они были выходцами из сельской местности, где прозвище давали по хозяйству или характеру, а при переписи закрепили его как родовое имя.