Фамилия Клименто звучит не по-русски, и это первое, что бросается в глаза. В русской ономастике нет исконной модели с финалью -о, которая бы образовывала фамилию от имени или прозвища. Поэтому происхождение здесь почти наверняка иноязычное, и самый вероятный путь — через итальянский язык. В Италии фамилия Clemente (Клементе) распространена широко, а её вариант Клименто мог возникнуть при русификации: окончание -е заменили на привычное русскому уху -о, как это часто делали с иностранными фамилиями в XIX–XX веках. Основа восходит к латинскому clemens — «милостивый, снисходительный». В католической традиции это имя носили несколько пап и святых, так что фамилия могла быть либо «святцевой» (по имени святого), либо прозвищной, характеризующей мягкий нрав предка.

Вторая версия, менее вероятная, но заслуживающая упоминания, — греческая. В греческом языке существует фамилия Κλημέντο (Клименто), образованная от имени Κλήμης (Климис, то есть Климент). Греческие фамилии часто заканчиваются на -о (например, Пападимитриу, но в упрощённой передаче — Пападопуло), и Клименто могла попасть в Россию вместе с переселенцами из Понта или с греками, служившими в Российской империи. Однако греческий вариант обычно сохраняет ударение на первом слоге, а итальянский — на втором, и в русском языке фамилия чаще слышится с ударением на «е»: Климе́нто.

Что касается географии, фамилия Клименто в России редка. Она встречается в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, где исторически оседали греки и итальянцы. Сословной принадлежности у такой фамилии нет: её могли носить и крестьяне-переселенцы, и городские ремесленники. Если ваш предок был носителем фамилии Клименто, он почти наверняка имел иностранные корни, а сама фамилия — это адаптированная на русской почве форма, означавшая «потомок милостивого человека».